F-nameのブログ

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数ベクトル空間(入門線形代数第1回)(その6)写像の定義域、値域、定義域の部分集合の像、値域の部分集合の逆像。

写像fをXからYへの写像、f:X→Yとする。Xの全体をfの定義域と呼ぶ。そして集合Xのfによる像、f(X)={y|y=f(x)かつx∈X}をfの値域という。集合Xの中の各要素xの像を全て集めた集合をfの値域と。一般に値域f(x)はYの部分集合となる。Yの中には値域でないものもある場合がある。対応していないものは値域ではない。

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次にf:X→Yとする。Xの部分集合をX'とする。X'のfによる像f(X')の定義を以下のようにする。f(X')={y|y=f(x)かつx∈X'}。xをX'の要素としたときのxのfによる像をyと呼んで、そういうyを全て集めてきて集合を作ったもの、これをX'のfによる像と言う。図にする。X'の各要素のfによる像を集めたものをf(X')とする。元になる要素がX'にないと外れてf(X')には入らない。

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また同様に、Yの部分集合Y'のfによる逆像f^-1(Y')の定義。f^-1(Y')={x|f(x)∈Y'}。f(x)がY'の要素となるようなxを全て集めた、そういう集合がY'のfによる逆像f^-1(Y')と定義する。Y'の要素ではない場合は逆像に入らない。

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fとgの合成写像。集合X,Y,Zに対し、2つの写像f:X→Yとg:Y→Zが与えられているとする。この写像g○f:X→Zをg○f(x)=g(f(x))で定義する。xはXの要素である。このfの像を求めた次にgの像を求めた写像g○fをfとgの合成写像という。書く時にはfとgの順序が逆になることに注意。f(x)に対してgを適用する。f(x)に対するgの像。g○fを単にgfとも書く。写像f:X→Yとする。任意のx,x'∈Xに対して、x≠x'(別のもの)ならばf(x)≠f(x')であるとき、写像fは単射(1対1)であるという。xが異なるならその像f(x)も異なdるということ(同じ要素にはならない)。x1≠x2(2つの要素が異なる場合)ならf(x1)≠f(x2)である。