高校数学｜数列の発散と逆数の極限

アルキメデスがこんな所に出てびっくりする。

ーーーー講義録始めーーーー

数列の逆数と発散に関する３つの性質

以下ではすべての数列 $(a_n)$ , $(b_n)$ が正（ $a_n>0,\,b_n>0$ ）であると仮定します。

条件	結論	記号表記
① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=0$	$\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty\implies\lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=0$
② $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=+\infty$	$\lim_{n\to\infty}a_n=0\implies\lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=+\infty$
③ $0<a_n\le b_n\ \forall n$ かつ $\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=+\infty$	$0<a_n\le b_n,\ \lim a_n=+\infty\implies\lim b_n=+\infty$

任意の正の実数 $c>0$ と任意の実数 $D$ に対し、ある自然数 $N$ が存在して

$Nc > D$

が成り立つ。

例：どんなに小さい $c$ （例えば $c=0.001$ ）でも、十分大きな $N$ を取れば $Nc$ は富士山の高さ（約3,776m）より大きくなる。