高校数学｜数列極限の四則演算と不等式

四則演算が100％可能ではない場面がある。なので難しいが興味もある。

ーーーー講義録始めーーーー

数列の極限と四則演算に関する補足

数列 $a_n$ と $b_n$ がすべての $n$ に対して

$a_{n} \leq b_{n}$

であるとき、極限が存在すれば

$\lim_{n \to \infty} a_{n} \leq \lim_{n \to \infty} b_{n}$

が成立します。

例えば、 $a_n$ がある定数 $\alpha$ に収束し、 $b_n$ が無限大に発散する場合、

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = α および \lim_{n \to \infty} b_{n} = + \infty$

とすると、両者の積は

$\lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = α \times (+ \infty)$

となり、結果として無限大に発散します。

たとえ各 $n$ で $a_n < b_n$ であっても、極限を取ると両者とも 0 に収束する場合があります。
例えば、

$a_{n} = \frac{1}{n + 1}, b_{n} = \frac{1}{n}$

とすると、各 $n$ において $a_n < b_n$ ですが、

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$

となります。
この例は、各項の大小関係が必ずしも極限値の大小関係に反映されるとは限らないことを示しています。

表：例の数列の比較

グラフ説明：
各数列のグラフでは、 $a_n$ と $b_n$ は $n$ の増加に伴い滑らかに 0 に収束しますが、各 $n$ での $a_n < b_n$ という関係は極限値には現れません。

以上のように、極限を取る際の四則演算や不等式の扱いに注意が必要であることがわかります。