高校数学｜無限級数の収束・発散解説

ーーーー講義録始めーーーー

無限級数の収束・発散の例

1, 2, 3, 4, 5, … と並んだ無限数列のすべての項の和（級数）を考えます。
部分和 $S_N$ は

$S_{N} = 1 + 2 + 3 + \dots + N = \frac{N (N + 1)}{2}$

となります。
$N$ を無限に持っていくと、 $S_N$ は無限大に発散します。

すべての項が1である無限数列 $1, 1, 1, 1, \dots$ の場合、
部分和は

$S_{N} = 1 + 1 + \dots + 1 = N$

となり、 $N\to\infty$ でこの級数も無限大に発散します。

0と1の間の実数 $r$ （ $0 < r < 1$ ）を公比とする等比数列、すなわち初項が1の数列

$1, r, r^{2}, r^{3}, \dots$

の部分和は、

$S_{N} = 1 + r + r^{2} + \dots + r^{N - 1} = \frac{1 - r^{N}}{1 - r}$

と表されます。
ここで $r^N$ は $N\to\infty$ で 0 に収束するため、

$\lim_{N \to \infty} S_{N} = \frac{1}{1 - r}$

となります。
たとえば、 $r = \frac{1}{2}$ のとき、級数の和は

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

となります。

表：各級数の部分和とその極限

以上のように、無限級数は部分和の極限を求めることで、その収束性または発散性が決まります。