昔の高校では行列やベクトルをやったけれど本質はつかめていなかったように思う。結局は大学の教養課程レベルの知識が必要なのだろう。
櫻井鉄也。行列とベクトルの計算。数値計算では行列とベクトルが重要な役割を。基本的用語や概念。関連してノルムや直交化についても。行列とベクトル。ノルム。直交化。基本線形代数プログラム。
行列とベクトル。コンピュータで計算。色々な計算を一般的に表す、まず行列とベクトルについて表記方法など。より詳しくは線形代数の教科書を。ベクトルや行列の表記方法。2次元のベクトル。この式でカッコの中に2つの数字を。丸括弧や角カッコ。2つの値をXY平面の座標と。原点からの矢印。ベクトルのX座標とY座標。3つの値だと3次元。3次元の空間で表す。2個や3個の組に対し矢印で対応。より多くの値も。N個とする。N次元ベクトル。最後にXNと。N個の値が並ぶ。ベクトルの成分。列ベクトル。横に並ぶ場合は行ベクトルと。転置。横と縦を入れ替える。行列の表記。値を長方形に。横方向を行、縦方向を列と。2行2列。3行2列。一般には値が縦にM個、横にN個。等しい場合は正方行列。正方行列は連立一次方程式の解法などで、要素の表し方や用語については確認を。区別するために1つの値はスカラーと。行列は演算が出来ることを。行列の演算や操作はスカラー倍や転置など4つが。行列の演算について。スカラー倍は全ての要素にスカラー数をかける。スカラーαをかけた要素がα倍であることを。行列のアルファ倍は全ての要素にαをかける。2つの行列の和。全ての要素について足し合わせる。全ての要素が0の行列。行列の積。行列をかけあわせる。要素は積を足す。横方向や縦方向に掛け合わせて足していく。行列の縦方向の要素を列ベクトルと。幾つかの列ベクトルが並んでいる。ベクトルを並べた形で。行列Bを掛ける計算は行列Aを。ベクトルのスカラー倍を足したものを線形結合と。幾つかの具体的な行列とベクトルを書いて。ベクトルXとベクトルY。内積。結果はスカラーになる。XとYの内積。内積はノルムや直交化で現れる。行列の転置もtで表す。行列の転置には関係が。対称行列。正方行列の要素で対角要素。左上から右下に並ぶ。それ以外が全て0となるとき対角行列と。要素が全て1のとき単位行列と。掛けても結果は変わらない。行列の中で逆行列。行列Aに対して単位行列となるBがある時そのBが。いつでも存在するとは限らない。逆行列が存在するとき行列は正則であると。ベクトルに行列を掛ける。別のベクトルに移す。左から掛ける。逆行列は前に戻す操作。行列の積の逆行列は順番が入れ替わる。逆行列に関連する式。ベクトルUとベクトルV。正方行列の対角要素の和をトレースという。物理ではよく現れる。行列のトレースに関する式。要素が複素数の行列。特に必要がない限り要素が実数の実行列で。
ノルム。スカラーの場合値が大きいか小さいかは絶対値で。原点からの距離。2つの値が近いかどうかは差の絶対値で比較。数直線上では2つの点の距離。距離を表す方法があるとある値が大きいかどうか、2つの値が近いかどうかを考えられる。大きさの順に並べることも出来る。原点からの距離。X座標とY座標。直角三角形の斜辺の長さとして。2点の間の距離も2つの点の座標から計算できる。2次元のベクトルをXY平面上の矢印で。ベクトルの長さや2つのベクトルの距離を定義できる。より一般化したものがノルム。縦の線を2つ並べる。2つの点の距離は正。0になるのは一致したとき。ノルムは距離の概念。ベクトルXが0ベクトルでない場合、ノルムは0ではなく正の値に。XY平面上の点。原点にない場合は、距離は0でない正の値。長さはアルファ倍に。三角不等式。XY平面上の距離を考えるときの性質。満たすことが出来れば距離を測る物差しとして使える。どれもノルムの性質を満たす。ノルムの記号の右下に値や記号を付けて。2ノルムがXY平面上の。2ノルムの重要な性質。コーシーシュワルツの不等式。ベクトルの内積。2ノルムの式は内積の平方根。何かの距離を測る物差しとしてより一般的に。曲線同士で互いの距離を測るとそれがノルムに。行列に対しても色々なノルムが。ノルムの例や関連する性質。必要に応じて参照することが必要。
コラム。行列は大学で学ぶ数学の中でも分かりづらい。行列は値を並べたもの。演算方法やノルムの説明。抽象的に扱うが。そのおかけで色々なものと結びつき応用範囲が広い。19世紀にケーリーなどによる。マトリックス。シルベスター。行列式。英語ではデターミナント。全く違う。行列式の概念は行列より前から。ガウスが導入。マトリックスは行列式のもとになるもの。行列の活躍。量子力学。20世紀の前半。ハイゼンベルク。行列を用いて定式化。行列力学。
直交化。ベクトルの性質を考えるときに重要なのが直交性。2次元平面の例で概念を。重ならない2つのベクトル。それぞれ定数をかけて足し合わせる。平面上の1つの点を。線形結合。係数を変えることで平面上の任意の点を。X軸とY軸を書く。原点から適当なベクトルを。ベクトルは矢印。先端からもう一つ別のベクトルを。先端の点が2つのベクトルの和。足し合わせる2つのベクトルの長さを変えると点も変わる。2つのベクトルによりXY平年上の点を表すことが出来る。2次元平面上では重ならない2つのベクトルを考えるのが重要。長さが1。成分が1,0と0.1。X座標とY座標は線形結合の係数に。ベクトル1,0を2倍するなど。2つのベクトルは直交。直行する2つのベクトルを見つけるのが直交化。N次元の場合に一般化。M個のN次元ベクトルの線形結合。少なくとも1つは0でない係数があるとき線形従属と。どれか1つのベクトルは線形結合で表せる。取り除くことが出来る。全ての係数が0の場合しか無いとき線形独立であると。2次元平面の例で任意の点を表すには2つのベクトルが必要なことと対応。内積が0の時は直行すると。色々な性質を考えるのに便利。内積についてベクトルの組は正規直交系と。長さが1で互いに直行するベクトルの組。グラムシュミット直交化。ベクトルA1。自分自身との内積が1。2ノルムを1にすることと同じ。A1のノルムで割ってQ1と。正規化。ベクトルが1つ決まる。2つのベクトルにより出来る平面。Q1と内積が0になるベクトルを見つける。U2とQ1の内積は0に。ノルムを1にしたものをQ2とする。Q1とは直交。直行する2つのベクトルが得られる。A3を加えて3次元空間においてQ1Q2と直行するベクトルを。直交化するアルゴリズム。古典グラムシュミット直交化。直交化の式との対応。フォーループにより計算をしている。Jについてのフォーループの前に代入。Jが1からK-1までの。この計算を行う代わりに代入しておきQJを順に引いていく。計算誤差がなければ互いに内積が0になるベクトルが。誤差の影響を小さくするのに修正グラムシュミット直交化と。
基本線形代数プログラム。グラス。サブプログラムの英語けいの省略形。プログラムを集める。計算の大部分を占めることがある。効率よく計算することが必要。計算量が同じでも処理の内容により計算時間が大きく異る。何故処理により計算時間が異なるかの原因を。数値のデータはメモリという記憶装置においている。演算はプロセッサと呼ばれる演算装置で。計算に必要なデータをメモリからプロセッサに。プロセッサ内の処理時間と比べると大きい。プロセッサは計算しないで待っている。待ち時間は数十倍から数百倍に。待ち時間を減らすため一時的保管場所を。次に使うときに使用することで待ち時間が短くなる。しかし容量が小さく大きなものはおけない。有効に使うことが高速化に。高い性能が出せるように。このような計算で高性能を得るためにグラスが。できるだけグラスの関数を呼び出すように。3つの種類。レベル1レベル2レベル3。どれくらい再利用できるか。数値が大きいほど再利用できる。数十倍の性能の差が出ることも。連立一次方程式の解法。ラパック。連立一次方程式の解法やQR分解などの解法が含まれる。高速で計算誤差が少なくなるようにするとプログラムが複雑に。再利用を。ソフトウェアを使うことでプログラムの性能を高めることが出来る。
