F-nameのブログ

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数ベクトル空間(入門線形代数第1回)(その3)部分集合、積集合、和集合、補集合、差集合。

部分集合。集合Aが集合Bの部分集合とは。集合Aの要素がすべて集合Bの要素。言い換えると、任意の(各々の)xについて、x∈Aならばx∈Bである。A⊆B。

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集合Bの円の中に集合Aの円が包まれている。 

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この場合、要素が幾つかあるが、Bのみの要素が何もない場合でも、A⊆B、つまり集合Aが集合Bの部分集合と言いうる。集合Bのみの要素が無い場合はA=B。であるがこの場合もA⊆B、つまりAとBが等しくてもAはBの部分集合である。

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積集合A∩B。集合AとBの両方に含まれる要素全体の集合がAとBの積集合。A∩B={x|x∈Aかつx∈B}。Aの要素であると同時にBの要素。

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円Aと円Bの重なった部分。

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和集合A∪B。集合AかBの、少なくともどちらか一方に含まれる要素全体の集合。A∪B={x|x∈Aまたはx∈B}。xがAの要素かBの要素。

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図示すると円Aと円Bのどちらかに含まれるもの。もちろん積集合も和集合の要素として含まれる。

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和集合の具体例。A={1、2、3、4、5}、B={3,4,5,6,7}のとき、A∪B={1,2,3,4,5,6,7}。共通の要素である3,4,5は、2回書く必要はない。 A∩B={3,4,5}。

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3つ以上の集合の和集合。A∪B∪C。集合AかBかCの、少なくともどれか1つに含まれる要素全体の集合。

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補集合。AーB。集合A⊇Bが与えられたとき、Aに含まれBに含まれない要素全体の集合を、AにおけるBの補集合という。AーB={x|x∈Aかつx∉B}。集合Aを明記する必要のないときは、AーBを ̄B(Bの上に横棒)とも書く。Bの補集合と言う。

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BがAの部分集合であるときに(Bの円がAの円の中にある)、ドーナツ状になっている色がついているもの。AにおけるBの補集合。

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これを一般化して考える。差集合A-B。一般にA⊇Bでない(BがAの部分集合ではない)ときもA-Bを以下のように同様に定義し、AとBの差集合と定義する。A-B={x|x∈Aかつx∉B}。

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Aの円とBの円が一般的に一部でのみ重なる場合。色のついた部分。集合Aの要素ではあるが集合Bの要素ではない。

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