高校数学｜数列の極限と収束解説(初歩からの数学第13回）＃放送大学講義録

いきなり数学の記号が出てきて申し訳ない。ただ極限の概念は今後に必要なものだと思う。私的には∞が数ではないことに驚いたが、確かに数の概念には入らないよなあとも感じる。

ーーーー講義録始めーーーー

数列とその極限

1. 数列の定義

数列とは、順序付けられた数の並びを一般項 $a_n$ で表したものです。

2. 例１：$a_n = \frac1n$

• 一般項

  $$a_n = \frac1n.$$
  

• 極限
  $n$ が大きくなると $\frac1n$ は 0 に限りなく近づくため、

  $$\lim_{n\to\infty} a_n = 0.$$
  

• 性質
  $a_n$ は $n$ が増えると値が小さくなる ⇒ 単調減少数列。

図１（表）：$a_n$ の値

$n$	$a_n=\frac1n$
1	1.000
2	0.500
3	0.333…
5	0.200
10	0.100
$\mathrm{\infty }$	0

3. 例２：$b_n = 2 - \frac1n$

• 一般項

  $$b_n=2-\frac{1}{n}\mathrm{.}$$

• 極限
  $\frac1n$ が 0 に近づくので、

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=2.$$

• 性質
  $b_n$ は $n$ が増えると値が大きくなる ⇒ 単調増加数列。

図３（表）：$b_n$ の値

$n$	$b_n=2-\frac1n$
1	1.000
2	1.500
3	1.667
5	1.800
10	1.900
$\infty$	2

4. 一般の定義

数列 $(a_n)$ がある実数 $\alpha$ に限りなく近づくとき、「$a_n$ は $\alpha$ に収束する」といい、その極限を $\alpha$ と呼びます。記法は

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\alpha \mathrm{.}$$

注意：

• $\infty$ は数ではなく「$n$ がいくらでも大きくなる」という意味を表す記号。

• いかなる $n$ に対しても $a_n=\alpha$ となる必要はなく、単に $\alpha$ に近づいていれば十分（漸近的性質）。

初歩からの数学〔改訂新版〕 (放送大学教材)