高校数学｜数列の発散（＋∞／−∞）解説 (初歩からの数学第13回）＃放送大学講義録

発散すると言ってもストレスの話ではない。それに発散すると戻ってこない。

ーーーー講義録始めーーーー

数列の発散

正に発散

数列 $(a_n)$ が $n\to\infty$ のとき値がいくらでも大きくなる場合、「正に発散する」といい、記号で

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty }$$

と表します。これは「任意の正の数 $M$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、すべての $n>N$ で $a_n > M$ が成り立つ」ことを意味します。

例１：$a_n = n$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n=+\mathrm{\infty }$$

例２：$b_n = n^2$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^2=+\mathrm{\infty }$$

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負に発散

数列 $(a_n)$ が $n\to\infty$ のとき値がいくらでも小さく（負方向へ大きく）なる場合、「負に発散する」といい、記号で

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-\mathrm{\infty }$$

と表します。これは「任意の正の数 $M$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、すべての $n>N$ で $a_n < -M$ が成り立つ」ことを意味します。

例３：$c_n = -n$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-n)=-\mathrm{\infty }$$

例４：$d_n = -n^2$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-n^2)=-\mathrm{\infty }$$

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数列の発散例一覧

数列	一般項	極限	発散の種類
例1	$n$	$+\infty$	正に発散
例2	$n^2$	$+\infty$	正に発散
例3	$-n$	$-\infty$	負に発散
例4	$-n^2$	$-\infty$	負に発散

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グラフの説明

• 正に発散：$y=n$ や $y=n^2$ のグラフは右へ行くほど上へ無限に伸びる直線・放物線。

• 負に発散：$y=-n$ や $y=-n^2$ のグラフは右へ行くほど下へ無限に伸びる直線・放物線。

初歩からの数学〔改訂新版〕 (放送大学教材)