高校数学｜数列の極限・級数の基礎解説

今後の数学学習に必要だから新たな概念が出てくるのだが、嫌気がさす人間が多いのも当然ではないかと思ってはいる。

ーーーー講義録始めーーーー

数列の極限に関する基本原理と級数の定義

まず、**挟み撃ちの原理（サンドイッチ定理）**について説明します。
ある数列 $a_n$ 、 $b_n$ 、 $c_n$ に対して、すべての $n$ で

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

が成り立ち、さらに

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = α$

であれば、サンドイッチ定理により

$\lim_{n \to \infty} b_{n} = α$

となります。

次に、単調性と有界性について説明します。
数列が単調増加であるとは、任意の $n$ に対して

$a_{n} \leq a_{n + 1}$

が成り立つことを意味します。逆に単調減少の場合は $a_n \ge a_{n+1}$ となります。
また、有界な数列とは、ある実数 $M$ が存在してすべての $n$ に対して

$∣ a_{n} ∣ \leq M$

となる数列を指します。重要な定理として、「単調かつ有界な数列は収束する」というものがあります。つまり、もし数列 $a_n$ が単調増加で上界 $M$ が存在すれば、 $a_n$ は上限に収束します。

さらに、無限数列と級数について説明します。
無限数列は $n=1,2,3,\ldots$ の各項からなる数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ のことです。
これに対して、級数は数列の各項の和を意味し、

$S = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$

と表されます。級数の収束性は、部分和

$S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$

の極限 $\lim_{N\to\infty} S_N$ が存在するかどうかで判断され、極限が存在すればその級数は収束し、存在しなければ発散すると定義されます。

サンドイッチ定理の例

$n$	$a_n$	$b_n$	$c_n$
1	1.0	1.5	2.0
2	1.2	1.7	2.0
3	1.3	1.8	2.0
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n\to\infty$	$\to\alpha$	$\to\alpha$	$\to\alpha$

この表は、 $a_n \le b_n \le c_n$ が成立し、端の数列がともに $\alpha$ に収束するため、中央の数列 $b_n$ も $\alpha$ に収束することを示しています。

以上のように、数列の極限に関する挟み撃ちの原理、単調性・有界性の概念、および級数の定義と収束判定について解説しました。