高校数学｜関数の極限と発散の解説

limの記法は微分で重要になるのだけれど、単に紹介するとなぜ出てくるのかは理解が出来なかったりするのだろう。

ーーーー講義録始めーーーー

関数の極限とその表記方法

まず、関数 $f(x)$ が与えられているとします。ここで、 $x$ がある値 $a$ に限りなく近づくとき、 $f(x)$ がある値 $\alpha$ に近づく場合、以下のように表現します。

と書きます。

例えば、 $f(x) = \frac{1}{x}$ という関数について考えます。

このことは、数列の極限の考え方と同様に、任意の数列 $\{x_n\}$ が $a$ に収束するとき、対応する数列 $\{f(x_n)\}$ も $\alpha$ に収束する、という見方でも表現できます。

また、図で表すと次のようになります。

図：収束の様子

次に、 $x$ が $a$ に近づくときに、 $f(x)$ の値がどんどん大きくなる場合について考えます。

例えば、 $f(x) = \frac{1}{x}$ の場合、 $x$ が正の値で $0$ に近づくと、分母が 0 に近づくため、 $f(x)$ は正の無限大（ $+\infty$ ）に発散します。
この場合、
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$

と表記します。

図では、 $x$ が 0 に近づくにつれて、 $f(x)$ の値が上方に無限に伸びる様子が示されます。

さらに、 $x$ が $a$ に近づくときに、 $f(x)$ の値がどんどん小さくなる（負方向へ大きくなる）場合についても考えます。

例えば、 $f(x) = -\frac{1}{x}$ の場合、 $x$ が 0 に近づくと、 $f(x)$ は負の無限大（ $-\infty$ ）に発散します。
この場合、
$\lim_{x \to 0^{+}} (- \frac{1}{x}) = - \infty$

と表します。

図では、 $x$ が 0 に近づくにつれ、 $f(x)$ の値が下方に伸びていく様子が示されます。

最後に、「 $x$ が $a$ に近づくとき、 $f(x)$ の極限値が $\alpha$ である」ということは、どのような経路や方法で $x$ が $a$ に近づいても、 $f(x)$ は必ず $\alpha$ に近づくという意味です。これは極限の定義における一意性を表しています。

以上のように、関数の極限は連続性や発散の挙動を示す重要な概念であり、記号表現を用いて明確に表現されます。