高校数学｜数列の極限計算と発散・収束(初歩からの数学第13回）＃放送大学講義録

ーーーー講義録始めーーーー

1. 正の定数を掛けると発散

任意の正の実数 $c>0$ に対し

$$\lim_{n\to\infty}cn = +\infty.$$

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2. 幾何数列の発散・収束

• $r>1$ のとき

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}^n=+\mathrm{\infty }(\text{単調増加・正に発散})$$

• $0<r<1$ のとき

  $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}^n=0(\text{単調減少・収束})$$

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3. 漸近的計算の練習

例１

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n-1}{2n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

$n$	$\frac{n-1}{2n-1}$
10	0.474
100	0.498
1000	0.4998
∞	0.5

グラフ説明: $n$ が増えるほど値は滑らかに $0.5$ に近づく。

例２

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1}{n+2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}=1.$$

$n$	$\frac{n+1}{n+2}$
10	0.917
100	0.990
1000	0.999
∞	1

グラフ説明: $n$ が増えるほど値は滑らかに $1$ に近づく。

初歩からの数学〔改訂新版〕 (放送大学教材)